Méthodes statistiques

Le calcul des propriétés homogénéisées via une approche en champs complets est souvent onéreuse. Ces propriétés sont en effet obtenues en résolvant un problème local, posé sur un domaine aussi grand que possible. De plus, puisque ce domaine est de taille finie, il n’est possible que d’avoir accès à une approximation aléatoire des propriétés homogénéisées exactes. Afin d’obtenir une approximation aussi précise que possible, il est donc souvent nécessaire de réaliser plusieurs calculs, correspondant à plusieurs tirages de la microstructure sur un domaine de taille donnée.

Réduction de variance s’appuyant sur une approche variationnelle de la méthode de l’inclusion équivalente. Cette méthode est ici appliquée à un matériau composite constitué d’inclusions circulaires positionnées de manière aléatoire dans une matrice. Le modèle réduit dépend de la fraction volumique d’inclusions, mais aussi de descripteurs plus fins. Des gains en précision significatifs sont obtenus, à coût calcul identique.

Pour pallier à ces difficultés, nous avons développé plusieurs méthodes de réduction de variance, afin d’obtenir une approximation des propriétés homogénéisées plus précise, pour un coût calcul identique.

Une famille de méthodes consiste par exemple à utiliser les modèles réduits de la littérature (modèles auto-consistants, bornes de Hashin-Shtrikman, schémas de type Mori-Tanaka, …). Ces schémas (s’appuyant sur des formules analytiques) utilisent typiquement un petit nombre de descripteurs de la microstructure (pour des matériaux composites: la fraction volumique, l’orientation et la forme des inclusions, …) et fournissent une approximation des propriétés homogénéisées.

Nous avons montré qu’il est possible d’utiliser ces modèles réduits dans une approche de type « variables de contrôle », qui peut être considérée comme une approche de type prédicteur-correcteur: le modèle réduit est utilisé pour prédire une réponse, qui est ensuite corrigée à l’aide du modèle de référence. Le coût calcul est alors similaire à celui du modèle de référence, pour une précision nettement accrue.

Voir aussi dans «Modélisation et simulation des matériaux hétérogènes»

Génération de microstructures Méthodes numériques avancées et calcul intensif Méthodes statistiques