Stage M2/PFE 2024 : Modèles numériques simplifiés pour l’homogénéisation en champs moyens des propriétés linéaires de matériaux hétérogènes de microstructure quelconque

Les propriétés mécaniques des matériaux hétérogènes dépendent fortement de leur microstructure, qui peut être localement très contrastée et anisotrope. Un exemple typique est celui des pièces injectées en polymère thermoplastique renforcé par des fibres courtes (SFRP), de plus en plus utilisées dans l’industrie automobile, ferroviaire ou aéronautique (illustration ci-contre).

Les pièces obtenues par ce procédé ont une masse réduite et une recyclabilité améliorée par rapport à des solutions métalliques. Afin de permettre un dimensionnement optimal d’une structure constituée de tels matériaux, il est essentiel de disposer de modèles fiables de leur comportement. Ces modèles doivent prendre en compte cette microstructure complexe. Ceci est d’autant plus vrai lorsque les propriétés microstructurales varient dans la pièce à dimensionner, comme cela est le cas pour de telles pièces injectées.

La construction des lois de comportement prenant en compte ces informations microstructurales (propriétés mécaniques locales et distribution spatiale des phases constitutives) repose sur des principes dit d’« homogénéisation », abordés dans divers enseignements de master. En les associant à des descriptions simplifiées des états mécaniques locaux au sein des constituants, on construit des méthodes d’homogénéisation dites en « champs moyens ». Lorsqu’on adopte de plus des hypothèses simplificatrices sur la microstructure, on aboutit à des expressions analytiques des propriétés élastiques effectives des matériaux considérés, faciles à intégrer dans des codes de calcul de structures. Ces résultats peuvent de plus être étendus à une grande variété de comportements non linéaires.

Ces modèles prennent en compte les traits dominants des microstructures (fractions volumiques, rapport d’aspect et statistiques d’orientation des fibres…), mais pas leurs détails les plus fins ; ils sont ainsi souvent incapables de décrire la diversité des matériaux complexes de l’industrie.

À l’inverse, les calculs de microstructures dits en « champs complets » sont en principe capables de prendre en compte n’importe quelle micro-géométrie, mais au prix d’une complexité numérique en général trop grande pour permettre leur intégration par l’industrie dans un calcul de structures.

Le projet proposé vise à explorer une voie intermédiaire, applicable à toute géométrie microstructurale, et fournissant une estimation des propriétés effectives, certes moins performante que celles fournies par les méthodes en champs complets, mais dont le coût numérique sera notablement inférieur. Il s’agit pour l’essentiel d’adopter les choix de modélisation des méthodes en champs moyens et de calculer numériquement les opérateurs tensoriels, en nombre limité, auxquels conduisent ces méthodes, mais sans adopter d’hypothèses simplificatrices. Dans le cadre du stage, on mettra cette démarche en œuvre dans un cas géométriquement simple, n’impliquant que peu de calculs numériques, mais permettant d’établir la faisabilité et la généralité de la démarche.

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